集合・写像・論理

はじめの一歩で躓（つまず）くな！ 集合・写像・論理は，現代数学を記述する「言葉」に過ぎない。だが，せっかく数学に興味をもっても，その「言葉」自体の理解が大きな障害となり，数学の豊かな内容に接する以前に早々と「門前払い」されてしまう初学者がたくさんいる。このような残念な事態を何とか解消したい，という願いの下で本書はまとめられた。その達成のために，「すべてを，一から説明する」ことと「自習できる」ことを目標に据え，集合・写像・論理に関する基本事項を徹底的に解説する。通常の教科書では「自明である」として取り上げられない事柄も数多く拾い上げて，誰にでも納得してもらえるだろうと思えるまで解説した。また，数学の中にも教科書でも明示されない「暗黙の了解」があるが，それがどのような「了解事項」であるかも極力説明している。 第1章　数学の理論体系 1.1　3角形の内角の和 1.2　球面上の3角形 1.3　数学の理論構成 1.4　ユークリッド幾何と非ユークリッド幾何 1.5　証明の例 章末問題 第2章　数学の論理と日常の言葉 2.1　正しい・正しくない 2.2　否定（その1） 2.3　「かつ」と「または」 2.4　「そして」と「しかし」 2.5　否定（その2） 2.6　「ならば」 2.7　「すべての」と「任意の」 2.8　「存在する」と「唯1つ」・「一意的」 2.9　否定（その3） 2.10　2等辺3角形・長方形・多項式 2.11　パラドックス（逆説，逆理） 章末問題 第3章　集合 3.1　集合の概念 3.2　集合の表記 3.3　代表的な集合 3.4　集合による定理の表現 3.5　部分集合 3.6　和集合・共通部分・差集合・補集合 3.7　直積集合 3.8　集合族：集合の集まり 3.9　たとえばこんな例題を 3.10　ベキ集合：部分集合全体の集合 3.11　ラッセルのパラドックス 章末問題 第4章　写像 4.1　写像の定義 4.2　関数 4.3　写像の例 4.4　写像のグラフ 4.5　単射・全射・全単射 4.6　写像の合成 4.7　逆写像 4.8　部分集合の順像と逆像 4.9　写像の集合 章末問題 第5章　命題論理 5.1　命題と真偽表 5.2　否定 5.3　「かつ」と「または」 5.4　「ならば」 5.5　P ⇒Q の真偽 章末問題 第6章　述語論理 6.1　変数を含む命題 6.2　「すべての」と「存在する」 6.3　論理記号 6.4　「すべての」と「存在する」の否定 6.5　反例による証明 6.6　ある文章の考察 6.7　複数の変数を含む命題と論理記号 6.8　連続と一様連続 章末問題 第7章　集合の濃度 7.1　集合の元の個数 7.2　基数と順序数 7.3　「無限」の威力 7.4　集合の濃度 7.5　カントールの定理 7.6　ベルンシュタインの定理 章末問題