多様体

平面上の曲線、空間における曲線や局面などの身近な対象を自然な目で観察する数学を解説。「多様体」を遠景に置きながら目に見える曲線や局面の考察をすすめていく。 1．Euclid空間 1.1 n次元Euclid空間 1.2 Euclid空間における線形変換 1.3 接ベクトル 1.4 可微分写像 1.5 ベクトル場と微分形式 1.6 微分形式の積分 2．曲線 2.1 基本事項 2.2 等周不等式 2.3 定幅曲線 2.4 積分幾何の応用 3．3次元Euclid空間内の曲面 3.1 R3の2次元部分多様体：定義と例 3.2 第1基本形式 3.3 第2基本形式 3.4 正規直交標構を用いる記述法 3.5 極小曲面 3.6 全測地的曲面，全臍的曲面 3.7 定曲率曲面 3.8 等周不等式と平均曲率一定な曲面 3.9 等長と合同 3.10 共変微分ー曲面人の微分法 3.11 曲面上の曲線 3.12 測地線 3.13 曲率線と漸近線 3.14 直線や円を含む曲面 4．2次元多様体上のRiemann幾何学 4.1 曲面（2次元多様体） 4.2 接ベクトル 4.3 Riemann計量 4.4 構造方程式とGauss曲率 4.5 共変微分 4.6 測地線 4.7 測地線は最短線？ 4.8 Gauss-Bonnetの定理 5．多様体 5.1 可微分多様体 5.2 可微分写像 5.3 接ベクトル 5.4 写像の微分 5.5 部分多様体 5.6 ベクトル場 5.7 1径数変換群 5.8 微分形式 5.9 1の分割 5.10 向き付け可能性 5.11 微分形式の積分 5.12 Stokesの定理