可換環論入門

はじめに 　訳者註 0　こんにちは！ 　0.1　私たちの行き先 　0.2　いくつかの定義 　0.3　分解に関する基本 　0.4　最初の橋渡し 　0.5　幾何学的側面ーー超曲面の場合 　0.6　Z対k[X] 　0.7　例 　0.8　可換環の研究 　0.9　この本の内容 　0.10　こんな人に 　0.11　必要な知識 　演習問題 1　基礎 　1.1　約束 　1.2　イデアル 　1.3　素イデアルと極大イデアル，Spec Aの定義 　1.4　簡単な例 　1.5　例：Spec k[X,Y]とSpec Z[X] 　1.6　幾何学的解釈 　1.7　Zornの補題 　1.8　極大イデアルの存在 　1.9　たくさんの素イデアル 　1.10　べき零とべき零根基 　1.11　零因子について 　1.12　イデアルの根基 　1.13　局所環 　1.14　局所環の例 　1.15　べき級数環と局所環 　演習問題 2　加群 　2.1　加群の定義 　2.2　簡単な形式化 　2.3　準同型定理と同型定理 　2.4　加群の生成元 　2.5　例 　2.6　Cayley-Hamiltonの定理 　2.7　行列式のトリック 　2.8　系ーー中山の補題 　2.9　完全列 　2.10　完全列の分裂 　演習問題 3　Noether環 　3.1　昇鎖律 　3.2　Noether環 　3.3　例 　3.4　Noether加群 　3.5　Noether加群の性質 　3.6　Hilbertの基底定理 　演習問題 4　環の有限次拡大とNoetherの正規化 　4.1　有限A-代数，整A-代数 　4.2　有限 対 整 　4.3　塔法則 　4.4　整閉包 　4.5　非特異性と正規環(入門) 　4.6　Noetherの正規化 　4.7　主張の証明 　4.8　Noetherの正規化の別証明 　4.9　体の拡大 　4.10　弱零点定理 　演習問題 5　零点定理とSpec Aの幾何学 　5.1　弱零点定理 　5.2　k[X1,…,Xn]の極大イデアルとknの点 　5.3　多様体の定義 　5.4　代数的閉体でない場合 　5.5　VとIの対応 　5.6　零点定理 　5.7　既約多様体 　5.8　零点定理とSpec A 　5.9　多様体上のZariski位相 　5.10　多様体上のZariski位相はNoether性をもつ 　5.11　既約分解 　5.12　一般のSpec A上のZariski位相 　5.13　Noether環のSpec A 　5.14　多様体とSpec A 　演習問題 6　商環S^{-1}Aと局所化 　6.1　S^{-1}Aの構成 　6.2　簡単な性質 　6.3　AとS^{-1}Aのイデアル 　6.4　局所化 　6.5　商加群 　6.6　S^{-1}の完全性 　6.7　局所化と商の可換性 　6.8　さらなる局所化 　演習問題 7　準素分解 　7.1　加群の台Supp M 　7.2　考察 　7.3　Ass Mの定義 　7.4　Ass Mの性質 　7.5　SuppとAssの関係 　7.6　加群の分解 　7.7　準素イデアルの定義 　7.8　準素イデアルとAss 　7.9　準素分解 　7.10　準素分解についての考察 　7.11　準素分解の存在 　7.12　準素分解とAss(A/I) 　7.13　準素イデアルと局所化 　演習問題 8　DVRと正規整域 　8.1　序 　8.2　DVRの定義 　8.3　最初の特徴付け 　8.4　DVRに関する主定理 　8.5　一般の付値環 　8.6　一般の付値環の例 　8.7　正規性は局所的条件 　8.8　正規環は余次元1でDVR 　8.9　幾何学的考察 　8.10　DVRの共通部分 　8.11　正規化の有限性 　8.12　定理8.11の証明 　8.13　付録：トレースと分離性 　演習問題 9　さようなら！ 　9.1　私たちの来た道 　9.2　これからの道 　9.3　補足 　9.4　Noether性では足りない 　9.5　秋月の例 　9.6　スキーム理論 　9.7　抽象代数と応用代数 　9.8　歴史をちょっと 　9.9　代数学を教えるときの問題点 　9.10　この本の書かれた背景 　演習問題 　参考文献 　訳者あとがき 　欧文索引 　和文索引