光の数理

本書は，光学分野を俯瞰する立場で数学的内容を精査し，光学における数学や物理的意味と数学のもつ性質との橋渡しを行い，横断的理解を目指している。 1章「光の基礎事項」では，波面，位相，光路長やマクスウェル方程式，境界条件など，2章以降の内容を理解するのに必要な基本概念を説明する。 2章以降では，最初に簡単な数学的な説明を行い，以下の内容が理解しやすいようにする。 2章「光とベクトル」では，ベクトル単独で説明できる光学現象を対象とし，ベクトルの加・減算を利用して光学現象を半定量的に理解する方法を説明する。 3章「光と行列・ベクトル」では，行列を主体として利用して物理的内容を表す方法や，それらを関係づける内容を説明する。 4章「光と数列・級数」では，最初に干渉や回折でよく現れるsinc関数の発生要因を考察する。多重ピンホールによる干渉を説明した後，いくつかの回折現象で開口をピンホールの集合体としてとらえることにより，これらの特性でもsinc関数が現れる共通要因を説明する。また，干渉光強度や回折像光強度の極大・極小条件を，物理的考察により求める方法も述べる。後半では，平行平面板内の多重反射により発生する透過波や反射波に基づく干渉光強度も調べる。 5章「光と微積分」では，包絡線による光学特性の解釈としてホイヘンスの原理や群速度と関連づける。また，極値とプリズムにおける最小偏角の関連，条件付き極値問題へのラグランジュの未定乗数法の利用，部分積分の利用のされ方，鞍点法などを説明する。 6章「光とフーリエ変換」では，フーリエ変換が光学現象でも特に回折や干渉と親和性がよいことに着目して，光学系を用いたフーリエ変換，畳み込み積分の利用，フーリエ分光などを説明する。最後に，波動でのスペクトル幅と時間幅の積について考察する。 7章「光と微分方程式」では，微分方程式の解法やフーリエ変換を，光学分野でよく現れる波動方程式に適用し，さまざまな状況のもとで波動方程式から導かれる波動の物理的内容を説明する。後半では，光学分野でよく利用されるガウス関数を波動方程式から導き，最後に非線形波動方程式とそれに関連する光ソリトンを説明する。 8章「光と変分法」では，光線の経路を導く方法としてフェルマーの原理を軸に，光線方程式や幾何光学の三法則，無収差反射鏡，球面レンズによる結像特性，不均一媒質中での光線伝搬などを，オイラー方程式や第2変分と関連させて説明する。後半では，波動方程式に関する問題を汎関数に置き換えて変分法に帰着させる方法を，最後には固有値の変分表現を説明する。 9章「光と摂動法」では，摂動がある場合の具体例として，光ファイバのコアが円形から楕円に変化したときの伝搬定数の変化と，光導波路が直線路から曲げに変化したときの電磁界を求める方法を説明する。