平面曲線の幾何

直線や円、放物線、楕円、双曲線。これらによって天空を動く惑星や彗星の運動がほぼ正確に表されることを知ったときは深い感動を覚えたものだ。それではさらに高度な曲線はどのようなものだろうか。そのように素朴な問いかけに本書は率直に応えることを目的とする。 本書は、平面曲線の本の名に恥じぬように、数多くの曲線のグラフを載せた。それらコンピュータによって美しく描かれた曲線を観察した後、計算によって幾何学的現象の解明を行うが、同時に代数多様体の分類理論のモデルを一つ提示する。美しくは見えるが曲線の雑多な諸性質が、最終章に至ると整然とした理論に組み込まれていく。その劇的な展開に読者は驚かれることであろう。 1．いろいろな曲線 1.1　曲線の観察 1.2　媒介変数表示の曲線と有理曲線 1.3　C曲線とチェビシェフ曲線 1.4　曲線の2重点 2．環とそのスペクトル 2.1　イデアル 2.2　スペクトルと位相 2.3　逆元の一般化 2.4　局所化と大域性 2.5　多項式環の性質 2.6　古典的零点定理 2.7　有限生成A加群 3．曲線とその接線 3.1　接線と微分 3.2　微分加群 3.3　関数体の微分 3.4　局所座標系と座標近傍 3.5　曲線の諸例 4．射影曲線 4.1　射影平面と無限遠点 4.2　射影平面の幾何 4.3　2次曲線の接線と極線 4.4　複比と調和点列 4.5　交点数とその応用 4.6　曲線の正則微分 4.7　曲線の無限遠点での様子 5．2次変換と曲面の因子 5.1　基本2次変換とグラフ 5.2　固有変換 5.3　局所2次変換 5.4　因子と切断 5.5　微分とその因子 5.6　因子と有理曲線 6．交点数と特異点の分解 6.1　曲線の交点数 6.2　交点数の分解による計算 6.3　同伴公式と種数公式 6.4　曲線の2次変換 7．有理曲面と基本変換 7.1　ヒルゼブルフ曲面 7.2　曲面 Σb の因子 7.3　ヒルゼブルフ曲面の基本変換 7.4　極小モデル 8．平面曲線の小平次元 8.1　対の双有理幾何 8.2　曲面の因子次元 8.3　小平次元 8.4　＃極小モデル 8.5　相対的極小モデル 8.6　例外曲線と直線 8.7　小平次元が1，0の場合 8.8　2種類の定理 8.9　小平次元が2の場合