数理論理学

論理，とくに数学における論理を研究対象とする数学の分野である数理論理学の入門書。ゲーデルの完全性定理・不完全性定理をはじめとした数理論理学の基本結果をわかりやすくかつ正確に説明しながら，その意義や気持ちを伝える。 1. 証明を対象にするとは 1.1 証明の実例 1.2 証明における言葉遣い 1.3 証明の前提と結論 1.4 証明の本質の抽出 1.5 第2章以降へ向けて 2. 自然演繹 2.1 項と論理式 2.2 導出図 2.3 公理からの証明 3. 論理式の真理値 3.1 命題論理の論理式の真偽 3.2 一般の論理式の真偽とストラクチャー 3.3 恒真，充足可能，モデル 3.4 同値な論理式 4. 自然演繹の健全性 4.1 健全性定理 4.2 意味論的帰結 5. 自然演繹の完全性 5.1 無矛盾性とモデル存在定理 5.2 未使用変数の無限性 5.3 極大無矛盾集合 5.4 モデル存在定理の証明 5.5 コンパクト性 6. 不完全性定理 6.1 計算可能性 6.2 表現定理 6.3 ゲーデル数 6.4 対角化定理 6.5 第一不完全性定理 6.6 第一不完全性定理の応用 6.7 第一不完全性定理の発展 7. 命題論理 7.1 トートロジー 7.2 論理記号の節約，選言標準形 8. さまざまな証明体系 8.1 等号について 8.2 ヒルベルト流体系 8.3 シークエント計算 9. シークエント計算LKのカット除去 9.1 カット除去定理とは 9.2 カット除去の準備 9.3 カット除去 10. 直観主義論理 10.1 直観主義論理とは 10.2 自然演繹とシークエント計算 10.3 直観主義論理のいくつかの性質 11. クリプキモデルと中間論理 11.1 クリプキモデルとは 11.2 健全性 11.3 完全性 11.4 中間論理 12. 本文中で使われている数学的道具の説明 12.1 帰納法 12.2 同値関係，同値類，商集合