応用がみえる線形代数

機械学習やデータサイエンスといった言葉を日常的に目にすることが多くなったが、これらの背後では線形代数が重要な役割を果たしている。主成分分析、画像圧縮処理、ウェブページのランクづけなどの現実の応用例に触れながら基礎的な概念を身につけることで、その重要さと有用性を実感しながら学ぶことができる入門書。 まえがき 1 行列とその応用 1. 1 行列はどこに現れるか 1. 2 線形代数はどこで役立っているか 2 行列と図形の変換 2. 1 ベクトルと行列 2. 2 図形の線形変換 2. 3 逆変換と逆行列 2. 4 面積拡大率と行列式 2. 5 線形変換の性質 2. 6 演習問題 3 ベクトルが張る空間 3. 1 2 次元平面の線形変換の例 3. 2 線形独立性と基底 3. 3 空間の次元と行列の階数 3. 4 2 次元平面の線形変換のまとめ 3. 5 n 次元空間の線形変換 3. 6 行列の性質と線形変換に基づく理解 3. 7 ベクトルと行列のノルム 3. 8 特殊な行列 3. 9 階数の計算 3. 10 演習問題 4 行列の対角化と都市の人口予測への応用 4. 1 行列による表現 4. 2 行列のべき乗 4. 3 行列の対角化 4. 4 固有値と固有ベクトル 4. 5 対角化と固有値固有ベクトル 4. 6 対称行列の対角化と直交行列 4. 7 対角化可能である条件 4. 8 固有値が複素数になる行列 4. 9 演習問題 5 線形方程式系と最小二乗法 5. 1 洋菓子店の生産計画 5. 2 線形方程式系の解の存在と一意性 5. 3 予測モデルと最小二乗法 5. 4 演習問題 6 固有ベクトルと主成分分析 6. 1 データ分析の例 6. 2 主成分分析の考え方 6. 3 行列による表現 6. 4 分散の最大化 6. 5 主成分分析 6. 6 主成分の解釈 6. 7 情報損失の基準 6. 8 演習問題 7 行列の分解と画像処理への応用 7. 1 画像データの圧縮 7. 2 特異値分解と低ランク近似 7. 3 特異値分解の適用 7. 4 特異値分解による画像圧縮 7. 5 特異値と固有値 7. 6 演習問題 8 発展的な話題 8. 1 ページランク:ウェブページの重要度の計算 8. 2 線形判別分析:データの分類 8. 3 非負行列分解:購入パターンの抽出 8. 4 線形代数の応用分野 8. 5 演習問題 補 論 A. 1 逆行列の計算 A. 2 線形方程式系の解法 A. 3 行列式の計算 A. 4 クラメールの公式 A. 5 多変数関数の微分 A. 6 ラグランジュの未定乗数法 演習問題の略解 参考文献 索 引 【コラム一覧】 第2章 線形変換による座標軸の変換 第3章 ベクトル空間 第4章 固有値と固有ベクトルの幾何学的意味 第5章 像と核 第6章 正定値行列と半正定値行列 第7章 特異値分解と主成分分析 第8章 線形代数と最適化