線形代数への招待

【 本書の構成 】 第1章　行列とその演算を学ぶ． 特に行列の“ 積 ”は注意を要する．行列の積では交換法則が成り立たない．つまり ab = ba とは限らないことが大きな特徴である． 行列の計算は，特に難しいところはないが，初めて行列を学ぶ人も困ることのないよう基礎から丁寧に解説した． 第2章　行列の応用として，連立1次方程式への応用をとりあげる． ここで 行列の行基本変形についても学習する．行基本変形は 線形代数の初等的理論の学習において中心となるものである． 2行2列に限らない行列を係数行列とする 一般の連立1次方程式も扱う． さらに，同次連立1次方程式の解のなす空間（ 解空間 ）について詳しく調べる． 解空間の考察から 抽象的なベクトル空間が自然に浮かび上がってくることが分かるだろう． 第3章　逆行列について説明する． まず 2次正方行列の逆行列の公式を学習し，そのいくつかの応用を調べる．逆行列の公式は 2次の場合には非常に簡単な形になる． さらに，3次の場合も含む，行基本変形による逆行列の計算についても学習する． 線形代数における 行基本変形の重要性を ここでも確認することができる． 第4章　1次変換へと進む． まずは 座標平面上の1次変換，すなわち“ 点を点に移す ”変換としての1次変換から始める． さまざまな図形が1次変換によってどのように変換されるのかを考察する． 特に重要な1次変換である，回転移動・対称移動 などの直交変換 および 射影については詳しく学習する． 最後に，座標平面上の変換としての1次変換から自然に誘導される，ベクトル空間上の1次変換，すなわち“ ベクトルをベクトルに移す ”線形変換へと進む． 第5章　固有値 ・ 固有ベクトルについて学習する． これは 線形代数において中心となる 極めて重要な概念である．固有値の応用として，行列の対角化 についても考察する． また，固有値・固有ベクトル と 線形変換との関係 についても詳しく調べる． 最後に，2次曲線を線形変換との関連で調べる．2次曲線（ さらには2次曲面 ）は線形代数における重要なテーマの1つでもある． 第1章　行列とその演算 　行列の和とスカラー倍／行列の乗法　　＜演習問題＞ 第2章　連立1次方程式への応用 　連立1次方程式と行列／同次連立1次方程式の解空間　　＜演習問題＞ 第3章　逆行列 　逆行列の公式とその応用／逆行列と行基本変形　　＜演習問題＞ 第4章　1次変換 　1次変換／回転移動と対称移動／正射影（直交射影）／1次変換から線形変換へ　　＜演習問題＞ 第5章　固有値とその応用 　固有値と固有ベクトル／固有値と1次変換／行列の対角化／2次曲線と1次変換 　 　・発展研究 1　行列式の理論入門 　・発展研究 2　1次変換の複素化 　＜演習問題＞ ・集中ゼミ　　空間図形の方程式 ・線形代数のポイント 　行基本変形と階数／ベクトル空間／行列式とサラスの方法／線形写像／ベクトルの1次独立／グラム・シュミットの正規直交化法 ・研究　　直交座標と座標変換