記述集合論要説

研究分野としての集合論には、「構成可能集合」「強制法」「巨大基数」「記述集合論」という4つの土台がある。本書では、その中の1つである「記述集合論」について、集合論の黎明期から記述集合論の誕生の経緯、その意義や応用・トピックスまでを丁寧にまとめたものである。20世紀初頭にヒルベルト学派が推進した「数学基礎論」とは違う問題意識を起源に持っているためか、古典的話題の1つにもかかわらず、日本ではこれまでなかなか学ぶ機会がなかったが、解析学への広く深い応用から近年注目されている理論である。集合論のレジェンドによる渾身の一冊。 序論　記述集合論の歴史的背景 第1章　記述集合論における基本概念 　1.1　ポーリッシュ空間とBaire空間 　1.2　木 　1.3　Lebesgue可測性 　1.4　Baireの性質 第2章　Borel集合 　2.1　Borel集合の誕生 　2.2　Borel集合とその階層 　2.3　Borel集合のBaire-De la Vallée Poussin分類 　2.4　分離定理と還元定理 　2.5　一般論(無限ゲームを含む) 　2.6　エフェクティヴ記述集合論 第3章　解析集合 　3.1　Suslinの演算と解析集合 　3.2　解析集合と順序数との関連ーー篩の理論 　3.3　Σ_1^1-集合(解析集合)の濃度 　3.4　Σ_1^1-集合(解析集合)のLebesgue可測性 　3.5　Baireの性質 　3.6　Suslinの定理 　3.7　分離定理と還元定理 第4章　Π_1^1-集合とΣ_2^1-集合の理論 　4.1　一意化問題 　4.2　Gödelの構成可能集合の宇宙 　4.3　記述集合論に関するGödelの二つの定理 第5章　無限ゲーム再論 　5.1　復習 　5.2　射影決定性公理からの帰結 　5.3　PW定理からの諸帰結 　5.4　スケール性質 　5.5　スケールの応用 第6章　現代記述集合論のトピックス，及び関連する話題 　6.1　 細字Σ_1^1$-集合と細字Σ_2^1-集合のLebesgue測度の実数としての複雑さ 　6.2　可測基数の存在とΣ_2^1-集合のLebesgue測度 　6.3　WadgeゲームとWadge還元・次数 　6.4　Borel集合のWadge階層 　6.5　Wadge理論と理論計算機科学との関わり合い 　6.6　陰関数について 　6.7　一般化記述集合論について 　6.8　強制法とジェネリック集合について 　6.9　Gandy-Harrington位相とその一応用例