ルベーグ積分講義

面積とはなんだろうかという基本的な問いかけからはじめ、ルベーグ測度、ハウスドルフ次元を懇切丁寧に記述し、さらに掛谷問題を通して現代解析学の最先端の話題までをやさしく解説した。 第1部　面積とはなにか 第1章 素朴な面積の理論 　1　ジョルダンによる面積の定義 　2　ジョルダンの意味で面積が測定できない図形 第2章 ルベーグの意味の面積 　1　有限の世界と無限の世界 　2　ルベーグによる面積の定義 第3章 面積を測定できる図形とルベーグ測度 　1　ルベーグ測度の完全加法性 　2　どのような図形がルベーグ可測か 　3　外測度が∞の図形のルベーグ可測性について 第4章 ルベーグ測度の代数的および幾何的性質 　1　ルベーグ可測集合族の代数と等測包 　2　ルベーグ測度の平行移動と回転不変性について 第5章 カラテオドリによるルベーグ可測性の特徴づけ 第6章 d 次元ルベーグ測度 第2部　ルベーグ積分 第7章 ルベーグ可測関数 　1　ルベーグ可測関数の定義と性質 　2　可測関数の単関数による近似 第8章 ルベーグ積分 　1　ルベーグ積分の定義 　2　「ほとんどすべての点で成り立つ」という考え方 第3部　ルベーグ積分の重要な定理 第9章 ルベーグの収束定理 第10章 ルベーグ積分とLP 空間 　1　LP 不等式 　2　バナッハ空間とLP 空間 第11章 フビニの定理 　1　フビニの定理 　2　フビニの定理の応用例 第4部　ルベーグ測度0の不思議な図形とハウスドルフ次元 第12章 無視できない測度0の図形ーーカントル集合 　1　カントル集合 　2　カントルの悪魔の階段 　3　正方形を埋め尽くすほとんどいたるところ微分可能な曲線 第13章 不思議な測度0の図形ーーベシコヴィッチ集合 　1　ベシコヴィッチ集合と実解析学 　2　ペロンの木によるベシコヴィッチ集合の構成 第14章 ハウスドルフ測度 　1　曲線の長さ 　2　曲線の長さを測定できる1次元ハウスドルフ測度 　3　1次元ハウスドルフ測度では測れない曲線 　4　s次元ハウスドルフ外測度 　5　Rd 上のs次元ハウスドルフ外測度 第15章 ハウスドルフ次元 　1　ハウスドルフ次元 　2　さまざまな図形のハウスドルフ次元 　3　定理15.6の証明 　4　アフィン変換とベシコヴィッチ集合 第16章 発展的なトピックスーー掛谷予想とブルガン予想 　1　掛谷集合 　2　ブルガン予想 付録 A　実数の基本的な性質 B　有界閉集合 C　p 進小数 D　可算集合、非可算集合、カントルの定理 E　図形の収束 F　ジョルダン可測性の定義について G ルベーグ積分に関するいくつかの定理 H　抽象的積分論