複素関数の基礎

本書は，複素数の定義から始め，正則関数の基本性質（コーシー・リーマン方程式，コーシーの定理，コーシーの積分表示，テイラー展開，一致の定理)と留数解析（留数定理，定積分計算，偏角原理，ルーシェの定理，開写像定理）を主な内容とする。 　初学者が学び易いように記載内容は根幹に絞り，枝葉への言及は最小限に留めているが，たとえば交流回路に対するオームの法則，楕円関数，リーマン面などの例・余談を盛り込むことで，複素関数論の広がりや歴史も感じることができる。 　本書では，十分に一般的仮定のもとで定理を述べ，厳密な証明を与えている。一方で，特に複素関数論を応用の立場から学ぶ読者に向けて，要点を手早く習得できる「近道」も随所に用意しており，目的に応じてカスタマイズできるよう構成している。 第1章　複素数 1.1 複素数・複素平面 1.2 複素数列 1.3 関数の極限と連続性 1.4 級数 1.5 べき級数 1.6 複素平面の位相 第2章　初等関数 2.1 指数関数 2.2 双曲・三角関数 2.3 偏角・対数の主枝 2.4 べき乗の主枝 2.5 (★)逆三角関数 2.6 (★)初等関数のリーマン面I 第3章　複素微分 3.1 準備：複素変数関数の偏微分 3.2 複素微分の定義と基本的性質 3.3 逆関数の複素微分 3.4 べき級数の複素微分 3.5 (★)一般二項展開 3.6 コーシー・リーマン方程式I 3.7 (★)コーシー・リーマン方程式II 第4章　コーシーの定理 4.1 曲線に関する用語 4.2 複素線積分 4.3 初等的コーシーの定理 4.4 初等的コーシーの定理を応用した計算例 4.5 原始関数 4.6 星形領域に対するコーシーの定理 4.7 (★)命題4.6.2の証明 4.8 星形領域に対するコーシーの定理を応用した計算例 第5章　正則関数の基本性質 5.1 コーシーの積分表示とテイラー展開 5.2 (★)定理5.1.1証明中の補題の証明 5.3 リューヴィルの定理 5.4 一致の定理 5.5 (★)モレラの定理 5.6 (★)正接・双曲正接のべき級数とベルヌーイ数 5.7 (★)無限積 第6章　孤立特異点 6.1 孤立特異点と留数 6.2 留数定理 6.3 留数定理を応用した計算例 6.4 偏角原理・ルーシェの定理 6.5 (★)開写像定理・逆関数定理・最大値原理 6.6 (★)孤立特異点続論 6.7 (★)ローラン展開 6.8 (★)初等関数のリーマン面II 第7章 (★)一般化されたコーシーの定理 7.1 回転数 7.2 命題7.1.7の証明 7.3 一般化されたコーシーの定理 7.4 一般化された留数定理 7.5 単連結領域に対するコーシーの定理 問の略解