数値解析

本書は、微分積分学や線形代数学に登場する様々な問題の解を近似的に求めるための数値的な方法とその理論、すなわち数値解析の入門書である。原始関数のわからない定積分の値をどうやって計算するか？　未知数の数が数百個の連立一次方程式をどう解くか？　複雑な微分方程式の解の形をどうやって描くか？　数値解析を学ぶことによって、私たちは、そのための具体的な方法を知り、活用できるようになるのである。一方で、数値解析を通じて、例えば、数列の収束というありふれた数学的な概念の中に、さらに、収束の速さや計算の量という新しい問題が潜んでいることを学ぶ。すなわち、一つの理解が、多くの新しい問をもたらすという数学の広がりを実体験することになるのである。 　数値解析はコンピュータの利用を前提としているが、決して新しい分野ではない。実際、本書では、ニュートン、ガウス、ラグランジュなどの多くの大数学者の名前が出てくるが、彼らも数値解析の問題に取り組んでいたのである。コンピュータという新しい技術は、数値解析の可能性を爆発的にひろげ、現代の科学技術の基礎を支えている。とはいえ、コンピュータにもできることとできないことがある。昔からある問題を新しい技術でどう解決するのかを研究するのは数値解析の醍醐味である。 　本書の目標は、数値解析の背後にある数理を理解することにある。そのために、計算方法や公式を、天下り的に述べるのではなく、動機を明確にした上で、導出を丁寧に解説した。また、読者の理解を助けるために、具体例や計算例を多く述べている。現実問題の解決に役立つ数学的な知識は、最先端の鮮やかな理論ばかりでなく、根本的で単純なアイデアであることも多い。本書の立場は、基礎を大切に学習することで、応用を志向するものである。 はじめに 　　計算例について 　　問題について 　　記号表 第1章　非線形方程式 1.1　ニュートン法 1.2　縮小写像の定理 1.3　収束の速さ 1.4　停止条件 1.5　連立非線形方程式 1.6　代数方程式に対する連立法 問題 第2章　数値積分と補間多項式 2.1　複合中点公式 2.2　複合台形公式と複合シンプソン公式 2.3　ラグランジュ補間多項式 2.4　直交多項式とガウス型積分公式 問題 第3章　連立一次方程式 3.1　ガウスの消去法とLU分解 3.2　LU分解の十分条件 3.3　ガウスの消去法とLU分解（一般の場合） 3.4　共役勾配法 問題 第4章　常微分方程式 4.1　初期値問題とオイラー法 4.2　ルンゲ・クッタ法 4.3　連立常微分方程式 4.4　構造保存型解法 4.5　境界値問題 問題 第5章　浮動小数点数 5.1　浮動小数点数 5.2　桁落ちと情報落ち 5.3　展望 問題 第6章　計算の量と安定性 6.1　計算の量 6.2　部分ピボット選択付きガウスの消去法 6.3　ノルム 6.4　連立一次方程式の解の安定性 6.5　不安定な問題 問題 A　問題の解答 参考文献 索引