確率論

本書は，コルモゴロフにより始められた，測度論を基にした確率論を扱う。まず，確率空間の定義から始め，確率変数，確率変数系の独立性，期待値，そして確率変数列の収束といった，確率論の基礎概念を見ていく。次に，ユークリッド空間Rd上の確率測度（d次元確率測度）について見る。多くの確率論のテキストでは，主に1次元確率測度を考え，多次元確率測度については，同様の計算でできるというようにしているが，本書では多次元確率測度を考える。最後に，実確率変数列を対象とし，極限定理について考える。「独立性は，大数の強法則および中心極限定理を独占しているわけではない！」という筆者のメッセージも感じとられることだろう。なお，付録においては，本書の議論に必要な確率測度に関する積分をまとめてある。 本書では，独習の手助けになるように，計算や証明をていねいに与えている。積み上げの学問である数学は，1つ1つの小さな演繹の積み重ねにより定理，そして理論ができ上がっている。本書のような読み方に慣れ，そしてそれが自力でできるようになれば，大定理や大理論も恐れることはなくなるであろう。 微分積分までを前提としていた確率論に歯切れの悪さを感じていた人にとっては，本書で扱う測度論を基にした確率論に触れることによって，そのもどかしさが払拭されることとなろう。 第1章 確率論の基礎概念 1.1 確率空間 1.2 確率変数 1.3 期待値 1.4 確率変数列の収束 第2章 ユークリッド空間上の確率測度 2.1 Pd の分類 2.2 1次元確率測度の例 2.3 線形汎関数 2.4 確率測度列の収束 2.5 特性関数 2.6 畳み込み 第3章 大数の強法則 3.1 独立系の場合 3.2 正規直交系の場合 3.3 乗法系の場合 第4章 中心極限定理 4.1 リンデベルグの中心極限定理 4.2 マクレイシュの中心極限定理 4.3 リンデベルグ vs マクレイシュ 4.4 リンデベルグ条件は必要条件！ 付録 A.1 d 次元ボレル集合族 A.2 π-λ定理 A.3 P に関する積分 A.4 C0(Rd) の可分性 A.5 ガンマ関数 A.6 独立な実確率変数列の存在