ナブラのための協奏曲

従来のベクトル解析の初等的教科書は，3次元直交座標に限られていたが，n次元一般曲線座標までを具体的にわかりやすく扱う。行列と行列式，微積分の基礎知識だけで理解できるようにした。発散定理や回転定理は，より基本的な勾配定理に統合できることを示した。このような視点は従来の教科書にはない。一般相対論に必要な数学をきわめて初等的に理解できるようにしてある。ベクトル積が3次元以外では7次元しか定義できない証明を詳述した。n次元一般曲線座標で，ラプラース演算子がベクトルに作用した結果も与えてある。曲面論では，ガウスーボネーの定理を，非常に直接的な方法で証明した。これらはいずれも内外を含めて他書にない特徴である。また微分形式も，曖昧さのない明瞭な形で紹介した。微分形式における一般積分定理は，前述の勾配定理と同等であることを示し，もっとも簡明でわかりやすい証明をしてある。ベクトル解析と微分形式をきわめて統一的に融合させることによって，両者をさらに有用な道具にした。 第1章　ベクトル 1.1　ベクトル空間 1.2　座標空間 1.3　内積 1.4　正規直交完備系 1.5　正規直交系の計量 1.6　テンソル 1.7　ユークリッド空間 1.8　座標回転 1.9　ヒルベルト空間 1.10　4次元時空 第2章　ベクトルの外積 2.1　2次元外積 2.2　3次元ベクトル積 2.3　3次元ベクトル積の座標表示 2.4　擬スカラー，擬ベクトル 2.5　4次元外積 2.6　n次元外積 2.7　7次元ベクトル積 第3章　ナブラーベクトルの微分 3.1　微分 3.2　勾配 3.3　発散密度と回転密度 第4章　ベクトルの積分 4.1　線積分の基本定理 4.2　体積積分と面積分 4.3　勾配定理 4.4　発散定理 4.5　回転定理 第5章　曲線座標におけるベクトル 5.1　基底 5.2　双対基底 5.3　反変ベクトルと共変ベクトル 5.4　曲線座標における外積 5.5　法線ベクトルと面積要素ベクトル 5.6　クリストフェル記号 5.7　座標変換 5.8　正規直交曲線座標 第6章　曲線座標における微分と積分 6.1　ナブラ 6.2　曲線座標における発散密度 6.3　ラプラースーベルトラミ演算子 6.4　曲線座標における回転密度 6.5　曲線座標における曲線定理と勾配定理 6.6　曲線座標における発散定理 6.7　曲線座標における回転定理 6.8　ベクトルの平行移動 6.9　ベクトルの共変微分 6.10　測地線 6.11　空間曲線 6.12　リーマン曲率テンソル 6.13　ミンコフスキー空間 6.14　マクスウェル方程式 第7章　曲面上のベクトル 7.1　自然基底と双対基底 7.2　第2，第3基本形式 7.3　ガウス曲率 7.4　陰関数曲面 7.5　2次元の曲率スカラー 7.6　ガウスの定理ーテオレマ・エグレギウム 7.7　ガウスーボネーの定理 第8章　微分形式のベクトル 8.1　微分形式 8.2　外微分 8.3　曲線座標における微分形式 8.4　正規直交曲線座標における微分形式 8.5　微分形式のマクスウェル方程式 8.6　微分形式の自然基底 8.7　座標変換 8.8　一般積分定理