偏微分方程式入門

偏微分方程式の入門と基礎を初学者向けに解説した。前半は古典的な方程式を概説しつつ解の性質を調べるための基本的な手法について述べる。また典型的な特殊解を見ることで解のイメージがつかめるようにした。いずれも計算や考え方の説明をていねいにしている。後半はヒルベルト空間の入門およびソボレフ空間について述べ，計算例を中心に“解く”ことを重視。 　数学的厳密さに偏ることなく，定義・定理は適宜，略証明で解説する。学部レベルで半期用テキストとしてまとめた。 記号，用語，準備 第1章 偏微分方程式入門 1.1 偏微分方程式の導入 1.2 熱方程式の導出 1.3 波動方程式の導出（1次元弾性体の場合） 1.4 その他の方程式 演習問題1 第2章 波動方程式 2.1 無限区間 R における波動 2.2 半無限区間 R+ における波動 2.3 有限区間における波動 2.4 フーリエの方法と定常振動 2.5 エネルギー不等式と波の有限伝播性 2.6 2, 3次元空間における波動 演習問題2 第3章 熱方程式 3.1 熱方程式と基本解 3.2 初期値問題 3.3 有限区間における熱伝導とフーリエの方法 3.4 その他の特殊解 3.5 多次元空間での熱伝導 3.6 最大値原理，解の比較，解の一意性 演習問題3 第4章 ラプラス方程式とポアソン方程式 4.1 ラプラス方程式 4.2 ラプラス方程式の境界値問題 4.3 調和関数，平均値の性質 4.4 最大値原理，比較定理 4.5 ラプラス作用素の固有値問題（長方形，円板） 4.6 ポアソン方程式 演習問題4 第5章 ヒルベルト空間と線形作用素 5.1 ヒルベルト空間入門 5.2 有界線形作用素，有界線形汎関数 5.3 リースの表現定理，共役作用素，コンパクト作用素 5.4 ヒルベルト・シュミットの定理 5.5 ミニマックス法 5.6 弱収束 5.7 フーリエ級数展開 演習問題5 第6章 ソボレフ空間，楕円型方程式 6.1 関数の弱微分，ソボレフ空間 6.2 ソボレフ空間の性質 6.3 高階のソボレフ空間 6.4 2階楕円型方程式，弱解，グリーン作用素 6.5 固有関数の滑らかさ 演習問題6 第7章 ラプラス作用素と固有値 7.1 楕円型作用素の固有値の特徴付け 7.2 ミニマックス法 7.3 固有値の大小比較 7.4 領域の変形と固有値の摂動I 7.5 領域の変形と固有値の摂動II 演習問題7 補 足（Appendix） A.1 発散定理，部分積分 A.2 実対称行列，対角化，固有値の特徴付け A.3 グロンウォールの不等式 A.4 ニュートン力学，運動方程式 A.5 ルベーグ積分と関数解析に関する補助命題 参考文献および参考書 問および演習問題の解答 索引