微分体の理論

代数的微分方程式の解を研究するために加減乗除の他に微分演算をもつ微分体を用いる。本書では、数学科3年までに学ぶ標準的な群、環、体、ガロワ理論の知識を前提として、微分体の理論を基礎から厳密に解説する。これは他書にはみられないものである。 前半は微分体の万有拡大の存在証明が大きな目標であり、またPicard-Vessiot拡大や強正規拡大のガロワ理論を解説する。後半では微分方程式の解が初等的な演算で得られるかという問題、エアリー関数やベッセル関数の代数的独立性、パンルヴェ方程式の既約性などを論じる。 第1章　基礎概念 1.超越拡大 2.線形無関連，代数的無関連 3.付値環 4.微分 5.微分多項式環 第2章　万有拡大 1.解集合 2.一般解 3.特性列と生成解 4.生成解の延長 5.レゾルベント 6.イデアルの係数拡大 7.万有拡大の存在証明 8.万有拡大における解集合 9.補遺1：微分体のLürothの定理 10.補遺2：次元定理 第3章　線形代数群 1.代数的集合 2.線形代数群 3.交換子群 4.Lie-Kolchinの定理 第4章　Picard-Vessiot拡大 1.微分定数体 2.微分体の同型と特殊化 3.強同型 4.Picard-Vessiot拡大の存在と一意性 5.Picard-Vessiot拡大のガロワ理論 6.Liouville拡大 7.斉次線形微分多項式の可約性 8.強正規拡大のガロワ理論 9.補遺3：代数群の既約分解 第5章　1変数代数関数体 1.付値 2.付値の拡張 3.留数 4.1変数代数関数体と留数定理 5.Riemann-Rochの定理 6.Weierstrass点 7.自己同型群 第6章　微分付値型拡大と既約性 1.微分付値型拡大 2.Airy関数，Bessel関数 3.Airy関数とBessel関数の代数的独立性 4.Painelevé方程式の既約性 第7章　微分加群の応用 1.微分加群 2.Axの証明 3.Liouvilleの定理 4.Fucks拡大 5.任意定数に有理的に依存する拡大 6.弱Liouville拡大に含まれる微分体 参考文献 索引