幾何学と特異点

特異点論の故郷は幾何学である、そして幾何学はいわばすべての数学の故郷でもある。特異点論は20世紀はじめのモースやホイットニーの研究に始まり、その後のトム、マザー、ブリスコーン、アーノルド、ウォールらの研究を中心に20世紀の洗練された数学を用いて急速に発展してきた分野である。　第I部では、古典的微分幾何学への特異点論の応用について、第II部では、多様体上のC∞級写像に現れる特異点の解析を紹介する。 第I部　微分幾何学と特異点 第1章　曲線の微分幾何学と特異点 1.1　色々な平面曲線と特異点　 1.2　空間内の曲線および曲面と特異点 1.3　平面曲線の微分幾何学的不変量 1.4　空間曲線の微分幾何学的不変量 1.5　包絡線（面） 1.6　1変数可微分関数の開折理論 1.7　開折理論の平面曲線の微分幾何への応用 1.8　開折理論の空間曲線の微分幾何への応用 1.9　曲線のジェネリックな性質 第2章　可微分関数芽の開折理論概説 2.1　可微分関数芽のR同値とK同値　 2.2　ジェットと関数芽の有限確定性 2.3　関数族と開折 2.4　k横断的開折 2.5　分岐集合と判別集合 2.6　可微分関数芽の分類 第3章　曲面の微分幾何学と特異点 3.1　接平面と基本微分形式 3.2　曲率とガウス写像 3.3　曲面上の高さ関数 3.4　ガウス写像の特異点 3.5　グラフ表示における計算 3.6　曲面上の距離2乗関数と臍点 3.7　曲面のジェネリックな性質 第4章　様々な幾何学と特異点論 4.1　等積微分幾何学と曲線 4.2　ローレンツ微分幾何学における曲線と光錐的曲線 4.3　双曲幾何学における曲線と特異点 第5章　Mathematicaで描く特異点 参考文献 第II部　微分位相幾何学と特異点 第1章　第II部の概説 1.1　多様体について 1.2　同相と微分同相 1.3　微分位相幾何学とは 1.4　埋め込み・はめ込み先の次元 1.5　正則点そして特異点の出現 1.6　ホイットニー予想とその背景 1.7　第1章の問題　　 第2章　多様体 2.1　準備ー逆関数定理と陰関数定理　　 2.2　多様体の定義と例 2.3　C∞級関数とC∞級写像 2.4　接空間 2.5　C∞級写像の微分 2.6　はめ込みと埋め込み 2.7　埋め込み定理 2.8　弱サードの定理 2.9　ホイットニーのはめ込み・埋め込み定理　 2.10　第2章の問題 第3章　C∞級写像の特異点 3.1　正則点，特異点 3.2　特異点の例 3.3　ジェットと写像空間の位相 3.4　安定写像の概念 3.5　ジェット横断性定理 3.6　第3章の問題 第4章　埋め込みの射影とその特異点の消去 4.1　埋め込みの射影とその特異点　 4.2　埋め込みの射影に現れるホイットニー傘特異点の消去 4.3　埋め込みの法オイラー数とホイットニー傘特異点 4.4　ホイットニー予想 4.5　安定写像に対する合同式 4.6　第4章の問題 第5章　今後の研究課題 5.1　定義域多様体と値域多様体の次元の大小　　 5.2　4次元多様体の微分構造と特異点 5.3　第5章の問題 解答へのヒント 参考文献 索引