整数論

現代の整数論において重要な役割を果たすp進整数とその一般化である局所体について解説した。 0．準備 0.1 群 0.2 環 0.3 剰余群と剰余環 0.4 群論からの準備 0.5 体上の多元群 0.6 体論からの準備 1．初等整数論 1.1 多項式環とその応用 1.2 単項イデアル環 1.3 オイラーの定理と法pに関する原始根 1.4 ルジャンドル記号と平方剰余の相互法則 1.5 平方剰余の相互法則の応用 2．4元数環 2.1 体の2次拡大 2.2 4元数環 2.3 有限体上の4元数環 3．体のブラウアー群とガロア群の指標群 3.1 単純環とブラウアー群 3.2 巡回多元環 3.3 巡回多元環とブラウアー群 3.4 基本双体写像 3.5 ノルム剰余記号[，]k,n,ζと[，]k,p 4．単純環の一般論 4.1 単純環の構造定理 4.2 多元環のテンソル積 4.3 シュバレーの定理とその応用 4.4 アルティンーウェープルの定理とスコレムーネーターの定理 4.5 中心化定理 4.6 分解体の存在 5．有限群のコホモロジー理論 5.1 群のコホモロジー 5.2 コホモロジー群における群や加群の変更 5.3 transfer写像 5.4 境界写像 5.5 巡回群のコホモロジー 6．ガロアコホモロジーとブラウアー群 6.1 ガロアコホモロジーとブラウアー群 6.2 単純環のコホモロジー類 6.3 接合積 6.4 同型の証明 6.5 体の変更に対する適合性 7．p進数体 7.1 p進整数 7.2 p進整数の基本的性質 7.3 p進数体 7.4 ヒルベルト記号 7.5 ハッセーミンコウスキーの定理 8．完備離散付値体の整数論 8.1 体の付値 8.2 完備離散付値とヘンゼルの補題 8.3 完備離散付値の延長 8.4 完備離散付値体の不分岐拡大と完全分岐拡大 8.5 離散付値体の乗法群 8.6 完備離散付値体のクンマー拡大 8.7 完備離散付値体のアルティンーシュライヤー拡大 8.8 完備離散付値体のノルム群 9．局所体のブラウアー群 9.1 局所体 9.2 局所体上の単純環の不変量 9.3 不分岐解体の存在 10．局所類体論 10.1 ガロア群と指標群の双対性 10.2 局所類体論の基本写像と主定理 10.3 基本写像の双対写像 10.4 ヒルベルト記号 10.5 ヒルベルト記号（続き） 10.6 記号[，} 10.7 局所類体論の証明の完了 10.8 局所体の不分岐拡大と完全分岐拡大 11．付録