ルベーグ積分から確率論

本書は，理工系基礎科目である「微分積分」を学んだ学生を対象にした「ルベーグ積分」と「確率」の入門書である。 　ルベーグ積分は，長さ（面積，体積）の拡張概念である測度をもとにして定義されるが，その適用範囲は今までの積分（リーマン積分）に比べて著しく広くなる。とくに，ルベーグ積分のいくつかの基本定理を理解すると，それは解析学や確率論における多様な積分計算や漸近解析の問題に応用できる。 　他方，ルベーグ積分や測度の考えは「確率」に自然に結びつく。歴史的にも確率論はコルモゴロフの測度論を基礎にした定式化により飛躍的に発展してきたので，確率論の理解のために測度は不可欠であるが，さらに具体的な確率モデルの解析にはルベーグ積分の基本定理が活躍する。 　本書は，収束定理，フビニの定理を中心として展開する。その応用は主に積分の漸近解析に限定し，その路線で基本的な確率モデルである「ランダムウォーク」と「投票者モデル」を取り上げて解説している。 1．集合の長さとルベーグ測度 1.1　リーマン積分の復習 1.2　1次元集合の長さ 1.3　ルベーグ積分 1.4　測度空間 2．ルベーグ積分 2.1　可測関数 2.2　積分の定義 2.3　収束定理 2.4　リーマン積分とルベーグ積分 2.5　収束定理に関連する例題 3．フビニの定理と応用 3.1　直積測度 3.2　フビニの定理 3.3　Lp空間 3.4　関数の合成積 4．積分に関する漸近解析 4.1　ラプラスの方法ー一変数の場合 4.2　ガンマ関数とスターリングの公式 4.3　ラプラスの方法ー多変数の場合 4.4　定留位相の方法 5．確率論の基礎 5.1　初等確率モデル 5.2　確率空間 5.3　独立性 5.4　大数の法則と連続関数の多項式近似 5.5　特性関数と分布の収束 5.6　中心極限定理 6．ランダムウォーク 6.1　d次元ランダムウォーク 6.2　マルコフ連鎖 6.3　単純ランダムウォークの再帰性の判定 6.4　推移確率Q(n)(0,0)のn→∞の挙動 6.5　グラフ上の単純ランダムウォーク 6.6　1次元非対称単純ランダムウォーク 7．投票者モデルー相互作用のあるマルコフモデルの例ー 7.1　投票者モデル 7.2　出会い確率 付録：測度の構成 A1　外測度 A2　ホップの拡張定理 A3　ルベーグ・スティルチェス測度 A4　多次元ルベーグ測度