現代解析学への誘い

微分積分法の基礎理論を、具体的な例を通して平明に解説。無限や極限の織りなす不可思議で豊かな世界に分け入る。まず、縮小写像と呼ばれるクラスの写像が必ず不動点をもつという原理とその応用を述べる。次に、解析学の基礎となる長さや面積の基本概念を、体系的な視点から記述し、最後に、関数の収束を取り上げる。 　まえがき 　学習の手引き 第1章　縮小写像と不動点 　§1.1　縮小写像の原理 　　(a)　写像の不動点 　　(b)　縮小写像の原理 　§1.2　陰関数定理・逆関数定理 　　(a)　パラメータをもつ縮小写像 　　(b)　陰関数定理 　　(c)　逆関数定理 　§1.3　いくつかの応用 　　(a)　等高面 　　(b)　束縛条件の下での極大極小問題 　　(c)　曲線の滑らかさ 　　(d)　反復法で方程式を解く 　まとめ 　演習問題 第2章　曲線と曲面の解析 　§2.1　曲線上の積分 　　(a)　曲線の長さ 　　(b)　長さの基本性質 　　(c)　線積分 　§2.2　面積と境界積分 　　(a)　平面領域の面積 　　(b)　面積の定義再考 　　(c)　面積の線積分表示 　§2.3　グリーンの公式とその応用 　　(a)　平面領域に対するグリーンの公式 　　(b)　公式の別証明 　　(c)　他の関連公式 　　(d)　応用：調和関数とディリクレ原理 　§2.4　高次元ガウスの定理と関連公式 　　(a)　曲面積 　　(b)　面積分 　　(c)　ガウスの定理 　まとめ 　演習問題 第3章　関数列の収束 　§3.1　極限と収束（再説） 　　(a)　収束の定義 　　(b)　上極限・下極限 　　(c)　コーシー列 　　(d)　2重数列 　　(e)　関数の連続性・半連続性 　§3.2　無限級数 　　(a)　級数の収束 　　(b)　絶対収束 　　(c)　条件収束 　　(d)　2重級数 　　(e)　無限乗積との関係 　§3.3　ボルツァーノーワイエルシュトラスの定理 　　(a)　開集合・閉集合 　　(b)　ボルツァーノーワイエルシュトラスの定理 　§3.4　関数の一様収束 　　(a)　一様収束 　　(b)　広義一様収束 　　(c)　関数を項とする級数 　　(d)　極限関数の微分と積分 　§3.5　アスコリーアルツェラの定理 　　(a)　同等連続性 　　(b)　アスコリーアルツェラの定理 　§3.6　変分問題への応用 　　(a)　変分法とは何か 　　(b)　曲線に関わる古典的変分問題の例 　　(c)　曲線族の収束定理 　　(d)　解の存在証明 　　(e)　変分問題の解の求め方 　まとめ 　演習問題 付録A　リーマン積分とスティルチェス積分 　　(a)　リーマン積分 　　(b)　有界変動関数 　　(c)　スティルチェス積分 付録B　距離と位相 　　(a)　距離空間 　　(b)　ノルム空間 　　(c)　距離空間の完備性 　　(d)　コンパクト性 付録C　複雑な図形の次元 　　(a)　次元の異なる特徴づけ 　　(b)　被覆次元 　　(c)　ハウスドルフ測度と次元 　現代数学への展望 　参考書 　問解答 　演習問題解答 　索　引