声に出して学ぶ解析学

定義・定理・証明、見慣れない記号など初心者がつまずきやすいポイントをていねいに解きほぐし、解析学を深く理解するための学び方を伝える。前半では数学理論の構造や学ぶ際の心構えを説明し、後半では収束、連続性、微分可能性といった主要な概念を取り上げ、詳細な議論とともに数学的な主張の読み解き方を具体的に示す。 まえがき 記号一覧 はじめに 第I部　解析の学び方 1 解析とはどんなものか 2 公理，定義，定理 　2.1 数学の構成要素 　2.2 公理 　2.3 定義 　2.4 定義を例と結びつける 　2.5 定義をさらに多くの例と結びつける 　2.6 定義を厳密に利用する 　2.7 定理 　2.8 定理の前提を精査する 　2.9 図と一般性 　2.10 定理とその逆 3 証　明 　3.1 証明と数学理論 　3.2 数学理論の構造 　3.3 解析の教えられ方 　3.4 証明の学び方 　3.5 数学における自己説明 　3.6 証明と，証明すること 4 解析の学び方 　4.1 解析の経験 　4.2 授業についていくために 　4.3 時間を無駄にしないために 　4.4 疑問への答えを得る 　4.5 戦略の見直し 第II部　解析における各種の概念 5 数　列 　5.1 数列とは何か？ 　5.2 数列の表記法 　5.3 数列の性質単調性 　5.4 数列の性質有界性と収束性 　5.5 収束直観を先に 　5.6 収束定義を先に 　5.7 収束に関して知っておくべきこと 　5.8 数列が収束することを証明する 　5.9 収束性とその他の性質 　5.10 収束数列の組み合わせ 　5.11 無限大に近づく数列 　5.12 今後のために 6 級　数 　6.1 級数とは何か？ 　6.2 級数の記法 　6.3 部分和と収束 　6.4 再び等比級数について 　6.5 びっくりする例 　6.6 収束の判定法 　6.7 交代級数 　6.8 本当にびっくりする例 　6.9 べき級数と関数 　6.10 収束半径 　6.11 テイラー級数 　6.12 今後のために 7 連続性 　7.1 連続性とは何か？ 　7.2 関数の例と規定 　7.3 より興味深い関数の例 　7.4 連続性直観を先に 　7.5 連続性定義を先に 　7.6 定義のバリエーション 　7.7 関数が連続であることを証明する 　7.8 連続な関数の組み合わせ 　7.9 他の連続性に関する定理 　7.10 極限と不連続点 　7.11 今後のために 8 微分可能性 　8.1 微分可能性とは何か？ 　8.2 よくある誤解 　8.3 微分可能性定義 　8.4 定義を当てはめる 　8.5 微分可能でないこと 　8.6 微分可能な関数に関する定理 　8.7 テイラーの定理 　8.8 今後のために 9 積分可能性191 　9.1 積分可能性とは何か？ 　9.2 面積と不定積分 　9.3 面積を近似する 　9.4 積分可能性の定義 　9.5 積分可能でない関数 　9.6 リーマンの条件 　9.7 積分可能な関数に関する定理 　9.8 微積分学の基本定理 　9.9 今後のために 10 実　数 　10.1 数に関するあなたの知らない話 　10.2 十進展開と有理数 　10.3 有理数と無理数 　10.4 実数の公理 　10.5 完備性 　10.6 今後のために おわりに 参考文献 訳者あとがき 索　引